Comparamos "mejor" las fuerzas gravitatoria y eléctrica; hablemos de septillones

Una foto de hace unos años. De visita en el Kutxaespacio de San Sebastián.

En la entrada anterior aprovechaba un error del libro de texto que usamos en el aula para comparar las fuerzas gravitatoria y eléctrica. En ella concluía que la fuerza entre cargas es unos 100 trillones de veces mayor que la fuerza entre masas, a partir de las constantes de las respectivas leyes. Para que nos entendamos, "coloqué" dos cuerpos de un kilogramo y con una carga de un culombio cada uno, separados por un metro y calculé la fuerza de atracción gravitatoria y la fuerza eléctrica entre ellos. Esta era, insisto, del orden de un trillón de veces más intensa que aquella. Echadle un ojo a la entrada, y lo veréis.

Tras su publicación tuve un diálogo interesante en Twitter:

Yo creo que el error está más bien en comparar dos constantes con distintas dimensiones. ¿Desde cuándo un kg equivale a un culombio?

— Filéntropo ⚖️🇪🇺 (@Filentropo) 9 de mayo de 2018

Un poco después me proponía:

Tan es así que se nos podría ocurrir echar las cuentas usando la masa y carga del electrón para poder comparar. https://t.co/jCrOSHWnf6 podría alegar que porqué electrón y no protón.

— Filéntropo ⚖️🇪🇺 (@Filentropo) 9 de mayo de 2018

Le comenté que no hay diferencia entre usar electrón o protón porque tienen la misma carga y él me señaló (no había caído) que ya, pero que tienen distinta masa, tonto de mí. En fin, una gran idea, la de @Filentropo, así que allá vamos. Comparemos las fuerzas gravitatoria y eléctrica entre dos protones, entre un protón y un electrón y entre dos electrones, siempre a un metro de distancia. Entre las unidades naturales de carga, en definitiva, con sus masas respectivas.

Para hacer los cálculos con las ecuaciones (que están en la susodicha entrada anterior) necesitamos las masas y las cargas de estas partículas en unidades SI:

Masa del protón: 1,7 · 10^-27 kg
Masa del electrón: 9,1 · 10^-31 kg
Carga (sin signo) tanto del protón como del electrón: 1,6 · 10^-19 C

a) Dos protones a un metro:
F gravitatoria: 1,9 · 10^-64 N
F eléctrica: 2,3 · 10^-28 N
Una diferencia de 36 órdenes de magnitud.

b) Un protón y un electrón a un metro:
F gravitatoria: 10^-67 N
F eléctrica: 2,3 · 10^-28 N (la misma que en el caso anterior, claro)
Esto supone una diferencia de 39 órdenes de magnitud. Normal, si tenemos en cuenta que la masa del protón es unas 1000 veces (tres órdenes de magnitud) mayor que la del electrón. Se puede prever que el siguiente cálculo arrojará una diferencia de 3 órdenes de mágnitud más, pero lo voy a calcular porque me parece que vamos a añadir un cero más...

c) Dos electrones a un metro:
F gravitatoria: 5 · 10^-71 N
F eléctrica: 2,3 · 10^-28 N
Una diferencia de 43 órdenes de magnitud. No tres, sino cuatro órdenes de magnitud más, como sospechaba viendo las mantisas.

En definitiva, que enfrentando las partículas subatómicas con carga, y según cuáles elijamos, la fuerza eléctrica es entre un sextillón y diez septillones de veces mayor que la gravitatoria. Muchísimo (pero muchísimo más) que lo estimado entre el par kilogramo-culombio.

Lo que tiene su lógica teniendo en cuenta que un kilogramo de cualquier sustancia contiene siempre más de un mol de átomos, y por tanto más de 10²³ protones y electrones, mientras que un culombio es la carga de "solo" 6,24 · 10¹⁸ electrones (o protones).

En definitiva, que lo miremos como lo miremos, la interacción eléctrica es muy muy muy (con perdón) superior a la gravitatoria.

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