Dos matemáticos muy listos (La solución)

Ayer os propuse resolver esta adivinanza:

Érase una vez un rey que vivía en un país muy lejano que estaba muy enfadado con dos matemáticos. Quizá eran dos profesores que había tenido de niño y no guardaba muy buen recuerdo de ellos...

Fuente

En fin, que Su Graciosa Majestad decidió vengarse de ellos. Los encerró en las dos torres de su reino más alejadas entre sí. Cada mañana, el guardián de cada torre lanzaría una moneda mostrando el resultado al prisionero. Y cada prisionero tenía que adivinar el resultado del lanzamiento en la otra torre. Si al menos uno de los dos acertaba sobrevivirían esa jornada. Si ninguno de los dos acertaba, serían ambos inmediatamente ejecutados. El rey, que era malo malísimo, estaba seguro de que en pocos días se habría librado para siempre de los dos indeseables.

Pero los dos matemáticos, que como es de suponer, eran muy listos, lograron hablar unos instantes entre ellos antes de ser definitivamente separados y acordaron un sencillo plan que les permitió mantenerse indefinidamente a salvo. ¿Adivinas cuál es el plan?

(Fuente)

Como lo prometido es deuda, ahí va la solución (dale al cursor hacia abajo un poquito, por favor):






























Uno de los dos, llamémosle el matemático A, tenía que decir que en la otra torre había salido su mismo resultado. El otro, el matemático B, que en la torre de su amigo había salido lo contrario que en su caso.

Para que lo veáis: o los dos lanzamientos son iguales (cara y cara o cruz y cruz) o bien son opuestos (cara y cruz o cruz y cara). El prisionero A, que dice que el lanzamiento en la otra torre es el mismo que el suyo, juega con la opción de que los dos lanzamientos son siempre iguales. El prisionero B, que opta por que el lanzamiento en la otra torre es el opuesto al suyo, juega siempre con la opción de que los lanzamientos son diferentes. Es evidente que los lanzamientos coinciden o no coinciden; no hay otra posibilidad. Entre los dos se aseguran la respuesta correcta todos los días.

Y si todavía no lo veis, ahí van todas las posibilidades tal y como acuerdan los prisioneros:

Prisionero A: sale cara, dice cara.
Prisionero B: sale cara, dice cruz.
El prisionero A acierta.

Prisionero A: sale cara, dice cara.
Prisionero B: sale cruz, dice cara.
El prisionero B acierta.

Prisionero A: sale cruz, dice cruz.
Prisionero B: sale cara, dice cruz.
El prisionero B acierta.

Prisionero A: sale cruz, dice cruz.
Prisionero B: sale cruz, dice cara.
El prisionero A acierta.

¿Ya?

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Dos matemáticos muy listos (Adivinanza)

Érase una vez un rey que vivía en un país muy lejano que estaba muy enfadado con dos matemáticos. Quizá eran dos profesores que había tenido de niño y no guardaba muy buen recuerdo de ellos...

Fuente

En fin, que Su Graciosa Majestad decidió vengarse de ellos. Los encerró en las dos torres de su reino más alejadas entre sí. Cada mañana, el guardián de cada torre lanzaría una moneda mostrando el resultado al prisionero. Y cada prisionero tenía que adivinar el resultado del lanzamiento en la otra torre. Si al menos uno de los dos acertaba sobrevivirían esa jornada. Si ninguno de los dos acertaba, serían ambos inmediatamente ejecutados. El rey, que era malo malísimo, estaba seguro de que en pocos días se habría librado para siempre de los dos indeseables.

Pero los dos matemáticos, que como es de suponer, eran muy listos, lograron hablar unos instantes entre ellos antes de ser definitivamente separados y acordaron un sencillo plan que les permitió mantenerse indefinidamente a salvo. ¿Adivinas cuál es el plan?

(Fuente)

La respuesta, mañana. Mientras tanto, no publicaré comentarios.

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La mejor manera de cambiar la actitud de la gente hacia las mátemáticas

"A veces pienso que la mejor manera de cambiar la actitud de la gente hacia las matemáticas sería pegar una etiqueta roja que rezara 'Matemáticas en el interior' en cualquier cosa que necesitara las matemáticas. Habría una etiqueta en cada ordenador, por supuesto, y supongo que si tomásemos la idea literalmente deberíamos pegar una en cada profesor de matemáticas. Pero también deberíamos colocar una pegatina matemática roja en cada billete de avión, teléfono, automóvil, semáforo, vegetal... ¿vegetal?"

Ian Stewart

Cartas a una joven matemática

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En el Carrefour de Pamplona no saben matemáticas

Sin comentarios.

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Resuélvelo más fácil sin Pitágoras, la solución

Recientemente os puse el siguiente acertijo:

Me comenta el profesor que unos segundos después de verlo, un alumno dio la solución correcta y dijo que no hacía falta resolverlo utilizando el Teorema de Pitágoras. El libro del profesor lo resuelve, con este teorema, calculando progresivamente las hipotenusas como los catetos de cada nuevo triángulo.

¿Te animas a encontrar la solución de ese alumno?

La respuesta, ahí debajo, tras el corte:

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Resuélvelo más fácil sin Pitágoras

Este es un ejercicio que viene en la unidad dedicada al Teorema de Pitágoras de 2º de ESO:

Me comenta el profesor que unos segundos después de verlo, un alumno dio la solución correcta y dijo que no hacía falta resolverlo utilizando el Teorema de Pitágoras. El libro del profesor lo resuelve, con este teorema, calculando progresivamente las hipotenusas como los catetos de cada "nuevo" triángulo.

¿Te animas a encontrar la solución de ese alumno?

La respuesta la pondré próximamente. Para evitar spoilers (con perdón), modero los comentarios.

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Por qué el vídeo viral de El viaje del ADN no debería sorprenderte

Es muy posible que lo hayas visto, y que además te haya sorprendido. Pero por si no lo habías visto, ahí lo tienes, con subtítulos en español:



Está claro, ¿no? El experimento, que forma parte de una campaña publicitaria de la agencia de viajes Momondo, consistió en coger a 67 personas de diferentes países, muy patriotas todas ellas, convencidas de la "pureza" de su sangre, para someterlas a un análisis de ADN. Los resultados saltan a la vista: en todos los casos aparecen antepasados de otros países, incluso muy alejados. ¡Y qué caras ponen!

Se han llevado una buena sorpresa y posiblemente tú también. Sin embargo, lo verdaderamente sorprendente habría sido que el ADN hubiera mostrado lo contrario: que el 100% del ADN de alguien tiene su origen en  "su" patria. Si aplicamos un poquito de biología y un poquito de matemáticas verás por qué.

Tienes un padre y una madre. Tanto tu padre como tu madre tienen, a su vez, un padre y una madre: tus cuatro abuelos. Lo que significa que tienes ocho bisabuelos, dieciséis tatarabuelos, y así sucesivamente. Una sucesión geométrica de orden dos, de esas que, sin darte cuenta, se te escapan rápidamente de las manos; recuerda la historia aquella del tablero del ajedrez y el premio reclamado en forma de granos de trigo.

Asumamos que, como promedio, cada veinticinco años aparece una generación humana. Hoy en día, en los países avanzados las mujeres tienen su primer hijo en torno a los treinta años, pero hasta hace muy poco tiempo el primer parto se producía a edades mucho más tempranas. Nos quedamos con los veinticinco años, lo que supone que cada siglo transcurren cuatro generaciones.

Veamos un ejemplo. España, finales del siglo XV, una época decisiva en el devenir de nuestro país (y de muchos otros, como es fácil de suponer: ¿recuerdas el descubrimiento de América?). ¿Cuántos antepasados de cada uno de nosotros estaba teniendo hijos en aquella época? Es muy sencillo de calcular: Si tomamos como punto de partida el emblemático 1492, han transcurrido 525 años. Cinco siglos y cuarto, a cuatro generaciones por siglo, 21 generaciones. Cada generación duplica el número de antepasados: una, 2¹ antepasados (los dos padres); dos, 2² (los cuatro abuelos); tres, 2³ (los ocho bisabuelos)... veinticinco, 2²⁵ antepasados. O lo que es lo mismo, y salvo que la calculadora se equivoque, tanto tú como yo tenemos, en aquella época, 33 554 432 antepasados. ¡Más de 33 millones de antepasados!

Aquí hay que hacer un inciso. Con casi total seguridad son menos. En una época en que los viajes eran algo desconocido para la inmensa mayoría de la población, hay una probabilidad enorme de que muchos de los antepasados que coincidían en el tiempo fueran parientes más o menos cercanos, lo supieran o no. Por lo que tenían antepasados comunes, y eso reduce la cifra calculada. Así que, a ojo de buen cubero, reduzcamos el número a veinte millones, si te parece bien.

Vale, un español tiene veinte millones de antepasados de la época de los Reyes Católicos, ¿cuál es el problema? Que no pueden ser españoles (o lo que es lo mismo, habitantes del actual territorio español), al menos no todos ellos. Como mucho, cinco millones, la cuarta parte. Como mucho, porque en realidad son muchos menos. Porque aunque se calcula que en aquella época había unos cinco millones de humanos en la Península Ibérica, sería extraordinario que todos ellos fueran antepasados de una persona actual, ¿no crees?

Así que mala noticia para los patriotas: eso de la patria es muy relativo, al menos si lo analizamos desde el punto de vista histórico. De la Historia y de la historia de cada cual. ¿Ocho apellidos? Ja, ja. El primer apellido de cada uno de tus ocho bisabuelos, poca cosa. Y encima los apellidos se transmiten vía paterna, con la poca fiabilidad que tiene la cosa... sería distinto si heredáramos los apellidos de las madres, pero el mundo es como es. ¿Patrias? Vamos, venga. Ni actuales ni pretendidas. Y, por cierto, cuanto más reducida sea "tu" patria, menos porcentaje de "pureza" llevarán tus genes.

En fin, que si nos ponemos racionales tenemos que poner una enorme cara de escepticismo ante frases del estilo de "los (pon aquí el gentilicio que te apetezca) tenemos derecho a (rellena esto a tu elección), porque nuestros antepasados..."

Un cordial saludo internacionalista.

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El mayor número que se puede escribir usando tres cifras

"El número que se escribe 9⁹⁹, o sea nueve elevado a nueve elevado a nueve, que es el número  mayor que se puede escribir usando solo tres cifras, tendría, si se escribiera entero, trescientos sesenta y nueve millones de cifras; a razón de una cifra por segundo, se tardaría once años en escribirlo; y, calculando dos cifras por centímetro, tendría mil ochocientos kilómetros de largo".

George Perec
La vida, instrucciones de uso

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Aproximadamente (ciencia a ojo), mi charla en Naukas Bilbao 16

Foto: Xurxo Mariño

He tenido el enorme privilegio de haber participado en el fenomenal evento divulgativo Naukas Bilbao 2016. Como en años anteriores, una ocasión de oro para aprender mucho y para compartir momentos con un montón de buenos amigos.

Me vais a permitir que comparta con vosotros la charla que impartí (tranquilidad, que dura algo menos de diez minutos, el tiempo máximo que se nos permite). Como estoy torpe y no consigo insertar el vídeo, no tenéis más que pinchar en la imagen inferior para que se abra la página donde está alojada, de la eitb, en la que están todos los vídeos de las jornadas. Espero que os guste:

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Adivinanza: ¿Cuánto es POCO? ¿Y MUCHO? La solución

Esta era la adivinanza:

Si cada letra es un dígito, ¿Cuánto es POCO? ¿Y MUCHO?

  

Ahí va la respuesta:

Hay 15 POCO. Entonces la suma de cada columna es un múltiplo de 15, y por tanto, (sin la llevada de la columna de su derecha), termina en 5 o en 0. La columna más a la derecha no recibe llevada, así que la O de MUCHO es un 0 o un 5.

Supongamos que la O es 0. En ese caso, la suma de la columna de la derecha vale 0 y no hay llevada que añadir a la suma de la siguiente columna, la de las 15 C. Si no hay llevada, hay que encontrar un dígito para C que, multiplicado por 15, tenga un resultado de dos cifras (CH en MUCHO) que comience por ese mismo número, dado que la columna a la izquierda de la de las C (la de las centenas) estaría formada por 15 ceros (está formada por 15 O). Esto solo se consigue con el 1 (1 x 15 = 15). Pero si CH es 15 entonces no hay llevada para la columna de los millares, con lo que U tendría que valer 0 o 5 (15 x P), Pero hemos dicho que 0 es O y que 5 es H. No puede ser, y por tanto la O no es 0.

Entonces la O debe valer 5. Veamos. En este caso la suma de las 15 O de la columna de las unidades es 75 y la llevada para la columna de las decenas (la de las C) es 7. ¿Cuánto vale C? Cada valor entre 0 y 8 tiene conflictos o implica que C tenga dos valores, pero si C = 9 entonces la suma de la columna de los 15 C es 142 (15 x 9 + 7, la llevada). En ese caso H = 2 y llevamos 14 a la columna de las centenas. Como la O es 5, entonces la tercera columna, con 15 O, hace un total de 89 (5 × 15 + 14). Tenemos una llevada de 8 a la columna de millares, donde lo sumamos a 15 P. El único dígito para la P que no crea conflictos es el 4, así que U es 8 y M es 6.

Por tanto:

POCO = 4595

MUCHO = 68925

"Creo que la solución es única", afirma Allan Gottlieb, profesor del Computer Science Department de la New York University, creador del acertijo, que lo encontré en Futility Closet.

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Adivinanza: ¿Cuánto es POCO? ¿Y MUCHO?

Si cada letra es un dígito, ¿Cuánto es POCO? ¿Y MUCHO?

  

La respuesta, en breve. ¡A pensar!

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La suma de los n primeros cubos... una demostración animada

Y viceversa:

Fuente Hyrodium's Graphical MathLand, vía MetaFilter.

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El gif de la derivada

Hoy toca repaso de matemáticas, en concreto la función derivada, ese concepto que nos introduce al (ejem) apasionante mundo del cálculo diferencial.
Así define la Wikipedia la derivada:

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.

La función derivada se calcula mediante las siguiente ecuación:

Pero a mí siempre me ha resultado más sencillo de comprender eso de que la derivada de una función en un punto se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
Y como una imagen vale más que mil palabras, ahí va un gif animado que muestra la tangente de cada punto en un intervalo de una función. La pendiente de esa recta tangente es la derivada. Se muestra en verde cuando tiene un valor positivo, en rojo cuando es negativa y en negro cuando vale cero.

Fuente de la imagen Calcblog, vía.

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¿Eres capaz de conseguir el mismo número de fichas blancas en cada montón? La solución

El pasado día 12 publiqué este acertijo. Ahora pongo la solución, que encontraréis tras pinchar ahí abajo, donde pone "Pincha aquí para ver la solución":

Imagina que tienes una cierta cantidad de fichas como las de la imagen, de color blanco por un lado, rojo por el otro.

Pues bien, ahora que has visto el montón alguien te venda los ojos y extiende todas las fichas sobre la mesa de manera que diez de ellas quedan en blanco hacia arriba y el resto en rojo. Ahí va el reto:

Con los ojos vendados, ¿sabrías hacer dos montones de manera que en cada uno de ellos hubiera el mismo número de fichas con el blanco hacia arriba?

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¿Eres capaz de conseguir el mismo número de fichas blancas en cada montón?

(Me contó este acertijo mi amigo Alfredo. Gracias, tío).
Imagina que tienes una cierta cantidad de fichas como las de la imagen, de color blanco por un lado, rojo por el otro.

Pues bien, ahora que has visto el montón alguien te venda los ojos y extiende todas las fichas sobre la mesa de manera que diez de ellas quedan en blanco hacia arriba y el resto en rojo. Ahí va el reto:

Con los ojos vendados, ¿sabrías hacer dos montones de manera que en cada uno de ellos hubiera el mismo número de fichas con el blanco hacia arriba?

Si os parece, doy unos días de plazo, para que le deis vueltas, antes publicar la solución. Mientras tanto, lo entenderéis, elimino la posibilidad de escribir comentarios.

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Los tres ángulos del triángulo suman 270º

En este ejemplo de geometría no euclidiana. Es una de las razones por las que sabemos que la Tierra no es plana.
Vía Educational Gifs.

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Tanta gente... y todos distintos (en #Naukas14), reto incluido

De vuelta tras el macroevento divulgativo Naukas 2014, y como siempre -es el cuarto año- con la sonrisa en la boca. Por supuesto, por la gran calidad del evento, dos jornadas consecutivas con decenas de charlas de diez minutos, entrevistas, sesiones para niños en Naukas Kids... ¡hasta dos conciertos hubo, dos, de Leftover Lights, para que no faltara de nada! Pero además por el gran placer que supone el reencuentro con la gente maravillosa que compone la gran familia Naukas.
Entre quienes tuvieron el placer y el honor de participar se encuentra el responsable de este blog. A continuación os pongo la charla que perpetré.

Pero antes de verla, a quienes tengáis conocimientos del tema os propongo un reto: cometí un par de errores, cosa de la tensión del momento. ¿Sois capaces de encontrarlos? Como pista, están separados por pocos segundos.
Espero que os guste (y que sepáis disculpar los errores).

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Adultos frente a las mates de primaria

Pues no lo pasan especialmente bien... (y no creo que sea culpa de los smartphones, o no solo de ellos).

Y tú, ¿cómo lo habrías hecho?
Lo he visto en It's Okay To Be Smart.

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Con el 2, el 3, el 4, el 5, el + y el =

Facilito.
¿Ya?
La respuesta, tras el salto.
(Vía)

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¿Cuántas células tiene un ser humano?

Es la pregunta que se me ocurrió lanzar a la clase de tercero tras corregir un ejercicio en el que aparecía esta imagen:

Y esto fue lo que dedujimos con la ayuda del responsable de este vuestro blog:

Cada célula venía a medir -en la foto- unos 3 mm, o lo que es lo mismo, 3000 µm. Si la imagen, como dice el enunciado, está aumentada 230 veces, entonces (y esa es la respuesta a la pregunta b), la célula tiene un tamaño de unos 13 µm. Supongamos ahora que la célula es cúbica, por lo que el volumen aproximado de una célula humana promedio (suponiendo que estas células sean de un tamaño medio) es (13 µm)³, lo que nos permite deducir que una célula tiene un volumen de unos 2200 µm³ (es una cifra redondeada, claro, pero todo lo estamos haciendo de forma aproximada; aproximada pero no de cualquier manera, no sé si me explico).

Solo nos falta otro dato: el volumen de un ser humano. ¿Cuál puede ser? Durante la clase, las respuestas fueron variadas y terminaron concluyendo que alrededor de medio metro cúbico.

- ¿Qué tal si tratamos de aproximarnos a una cifra más cercana a la realidad? ¿Cómo podríamos hacerlo?
- ¡Con una probeta gigante, para ver el líquido desplazado!
- ¿Y qué tal si lo evitamos?

Entonces les dije que pensaran qué les sucede cuando están en la piscina y, sin nadar, tratan de vaciar el aire de sus pulmones. Exacto: quedamos prácticamente sumergidos. Porque la densidad del cuerpo, de la masa formada por células, es muy parecida a la del agua: 1 kilogramo por cada decímetro cúbico.

- Así que un adulto de 75 kilogramos tiene un volumen de unos...
- ¡75 decímetros cúbicos!
- Exacto: bastante menos que los 500 dm³ (el medio metro cúbico) que habíais acordado.

Ya solo había que dividir el volumen de un adulto por el volumen de una de sus células para aproximarnos al número de células de un ser humano. Es imperativo que ambas cifras estén en las mismas unidades, así que los 75 dm³ los escribimos como 7,5 · 10¹⁶ µm³. Ahora sí. El resultado de la división es:

3,5 · 10¹³  = 35 billones de células en un ser humano

¿Lo hicimos bien? Para asegurarnos busqué en San Google "número células humano". Ahí estaba mi admirado Microsiervos, con una entrada titulada precisamente ¿Cuántas células hay en el cuerpo humano? Copio parte de lo que pone:

"Todo el mundo sabe que hay millones y millones de células en un cuerpo humano, debido a su ínfimo tamaño, hasta ahora pero según a quién preguntaras podías obtener una respuesta de entre 5.000 millones y 200 billones – unas cifras muy variables. Por esta razón unos biólogos europeos han estado trabajando intentando afinar mejor esos cálculos; el resultado de su trabajo indica que el cuerpo humano tiene unos 37 billones de células distintas".

No lo hicimos nada mal ¿verdad? Nuestro trabajo fue un ejemplo de una estimación de Fermi, una manera de calcular una cifra aparentemente imposible de calcular, si me permitís la expresión. Fermi se hizo famoso (al enlace anterior me remito) por su capacidad para estimar cantidades desconocidas con mucho acierto, como su clásico problema "¿cuántos afinadores de piano hay en Chicago?"
Con este ejercicio no solo conseguimos el objetivo de estimar -bastante bien- el número de células de una persona, sino que sirvió para introducir a la estimación científica.
"¿Acaso creéis que cuando oímos que la Vía Láctea tiene 400 000 millones de estrellas alguien las ha contado? O, por el contrario, que han dicho la cifra a ojo de buen cubero? Pues ni una cosa, ni la otra".

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