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Sean dos puntos diametralmente opuestos A y B. Supongamos que la temperatura es mayor en A que en B, así que A - B es un valor positivo. Ahora imagina que vas girando ambos puntos alrededor del ecuador, manteniendo su posición relativa. La diferencia de temperaturas entre ellos no es siempre positiva, pues si los giramos 180º habremos intercambiado sus posiciones; A estará en el lugar que ocupaba B y viceversa, y la diferencia de temperaturas tendrá el mismo valor pero signo negativo. Por tanto, y dado que durante ese giro las temperaturas varían de forma continua, en algún momento la diferencia de temperaturas necesariamente vale cero.
Tiene toda la belleza de lo simple. Muy bueno.
ResponderEliminarPues creo que tal afirmación no es cierta, ya que parte de una premisa incorrecta. La distribución de temperaturas no es continua.
ResponderEliminarPongamos un ejemplo fácil: el sol irradia y calienta todo a 40 grados
No hay atmósfera, por lo que, al dejar de dar el sol, la temperatura baja a 0 grados.
Tenemos 1/2 superficie a 40 grados y 1/2 a 0 grados, y el cambio de una a otra no es continuo, si le da el sol, 40 grados y si no, 0.
¿Un gradiente infinito de temperatura? Eso sí que sería raro. Raro raro.
EliminarEn tu ejemplo, el punto que está a 40 grados va a bajar a 0 grados, y el que está a 0 grados va a subir a 40 grados. En algún punto, obligatoriamente van a ser iguales.
EliminarEstoy de acuerdo con que la afirmación no es cierta.
ResponderEliminarEsa afirmación solo sería cierta en todos los casos si el incremento de temperatura entre un punto A frío a un punto B caliente diametralmente opuesto siempre fuera constante y lineal, y el decremento de temperatura por el camino opuesto de B a A fuera también constante y lineal y de la misma magnitud pero de signo contrario al incremento de A a B.
Si las variaciones de temperatura por ambos caminos no son constantes y lineales, se puede dar el caso de que nunca coincidan dos puntos diametralmente opuestos a la misma temperatura. Siempre habrá al menos dos puntos a la misma temperatura, pero no tiene porqué coincidir con que sean diametralmente opuestos.
No solamente la condición que propones es demasiado exigente, si no que añade dificultades extra.
EliminarEl motivo es que una función bien definida sobre una esfera tiene que ser periódica, con período 2*pi, en la coordenada longitud geográfica.
La única función lineal admisible, o afín, o lo que sea que quieras decir con "incremento constante y lineal", sería totalmente independiente de la longitud. En resumen, no solamente no hace falta que la función sea lineal, si no que aparecen ciertas dificultades cuando imponemos que así sea.
Con imponer que se trate de un función contínua basta.
http://www.librosmaravillosos.com/matematicaepisodio3/capitulo02.html#22
ResponderEliminarVer el punto 22.
En ese punto 22 también se está suponiendo una variación constante de la temperatura en los caminos que lleva de A a B y de B a A. En el momento en que uno de los dos caminos no tenga una variación constante de temperatura no se cumple que haya dos puntos diametralmente opuestos que tengan la misma temperatura.
EliminarPor ejemplo:
- Llamemos A a la posición inicial del primer punto y B a su punto diamentralmente opuesto.
- Llamemos A' al punto situado a 90º de arco del punto A en el camino A->B, y B' a su punto diametralmente opuesto (es decir, al punto situado a 90º de arco del punto B).
- La temperatura de A es de 0ºC y se incrementa de forma constante hasta el punto B.
- La temperatura de B es de 40ºC. Dado que el incremento de A a B es constante, A' estará a 20º
- El decremento de temperatura entre B y A no es constante. La temperatura de B a B' se decrementa de forma constante hasta los 21º y de B' a A se decrementa de forma constante hasta los 0º.
En un escenario como el planteado tendrás dos puntos a la misma temperatura pero no estarán diametralmente opuestos.
Como bien dicen en el siguiente comentario, el error está en poner la Tierra como ejemplo.
En el ejemplo que tú propones, la temperatura sería igual en el punto A->B 92,195º (y su diametralmente opuesto B->A 272,195º), siendo dicha temperatura unos 20,48ºC.
EliminarA mí también me costó verlo, pero está claro que sí que ocurre :P
Has de representar dos gráficas superpuestas. La primera, la temperatura A->B en función del ángulo (que sería de 0º a 180º). La segunda, superpuesta, la temperatura B->A por la trayectoria contraria (que sería de 180º a 360º). De este modo, todos los puntos en la misma vertical son diametralmente opuestos.
Pues donde las dos líneas se corten, la temperatura es la misma.
En tu ejemplo, siendo "x" el ángulo (0-180), la gráfica A->B es (llamemos "Temperatura trayectoria 1"):
Tt1 = 40/180 * x
La trayectoria B-> es dividida en 2. Supongamos "x" el ángulo 0-90, pero que realmente es la trayectoria que describiría 180-360º ("Temperatura trayectoria 2 segmento 1" y "Temperatura trayectoria 2 segmento 2"), siendo cada segmento de 90º:
Tt2s1 = 40 - (40-21)/90 * x = 40 - 19/90 * x {para x=[0,)}
Tt2s2 = 21 - 21/90 * x {para x=(90,]}
Las temperaturas se cortan en el segmento 2 (pasados los 90º de A->B y pasados los 270º de B->A). Igualamos "Tt1 = Tt2s2", pero para poder hacer eso es necesario reescribir Tt2s2 porque su dominio es (90,] y no [0,), así que simplemente hacemos un desplazamiento de la variable independiente.
Tt2s2 = 21 - 21/90 * (x-90) {para x=[0,)}
40/180 * x = 21 - 21/90 * (x-90)
40/180 * x = 21 - 21/90 * x + 21
40/180 * x = 42 - 21/90 * x
42 = 82/180 * x
x = 180*42 / 82
x = 92,195º
Y Tt1(92,19512...) ~= Tt2s2(92,19512) ~= ~ 20,48ºC
---------------------------------------------------
Nota: Me ha llevado un montón explicarlo incluyendo lo del "desplazamiento de la variable independiente. Mi solución inicial se centraba simplemente en el segmento 2, escribiendo el sistema de A'->B (pendiente 20 para 90º) y el sistema B'->A (pendiente de -21 para 90º). Si alguien desea comprobarlo así, el sistema dará una solución de 2,195º a los que hay que sumarles los 90º en los que empieza el segmento 2 (dando el ángulo 92,195...).
x =
Lo que está mal es poner a la Tierra, pues su figura hace pensar en la Geografía un punto sobre el Ecuador en un pico andino nunca tendrá la temperatura de las praderas del Congo o sobre las olas del mar.
ResponderEliminarLas matemáticas con estas consideraciones podrían complicarse y mucho.
Hola, soy el autor del primer comentario.
ResponderEliminarEsta afirmación, se basa en que la función de temperatura sea una función continua. Es decir, da igual como sea la Tierra y su geografía, la única condición es que la función sea continua. Esto implica que desde una temperatura a otra, se pase por todos los valores intermedios. Y es ahí donde yo pongo la duda. Si un punto al sol está a 40 grados y otro, un centímetro después está a la sombra y la temperatura es 0 grados, ¿consideramos la función continua?
Es decir, hay un punto en que se está a 39 y otro a 38 y así sucesivamente, hasta 0, haciendo las divisiones infinitesimales, o consideramos que hay saltos de temperatura. Si consideramos que hay saltos, entonces no se cumple la condición de continuidad de la función con lo que no es posible asegurar que se cumple que haya 2 puntos opuestos con la misma temperatura.
Este ejemplo, que la intuición te dice que no, pero las matemáticas te contradicen, me gusta ponerlo con otro ejemplo:
Si sales de Madrid a Alicante, a las 10 de la mañana y llegas a las 2 de la tarde, y vas en coche por la carretera, y sin salirte de ella, y la vuelta haces el recorrido inverso, saliendo a la misma hora, y llegando a la misma hora, en algún punto del recorrido habrás estado a la ida y a la vuelta a la misma hora. Da igual lo que corras al principio o al final, en la ida o en la vuelta, siempre pasarás por algún punto en el que estuviste justo a esa hora en el otro viaje.
A ver si quedan las cosas claras:
ResponderEliminarHay que imaginar que el giro se hace sin que transcurra el tiempo. Conforme un punto se va desplazando por el ecuador, la temperatura de la posición que va ocupando varía de forma continua, sin saltos. Por tanto, no hay ningún error en la explicación. Independientemente de sombras, montañas, atmósferas o ausencias de atmósferas y todo lo que se os ocurra.
Saludetes.
Hola Carlos, vuelvo a ser el anterior.
ResponderEliminarTe quería comentar que es ese el problema, considerar continua la función temperatura. No vale decir, es que es así, porque el hecho es que no lo es.
Por ejemplo, ¿cómo se mide la temperatura?
¿A 1 m del suelo? Cuando llegues a una pared vertical, tipo acantilado, la función no es continua. El movimiento a lo largo del ecuador, pasas de un punto en el mar a otro a, por ejemplo, 100 metros, y seguro, que la temperatura no es una décima de grado mayor o menor para que puedas considerarla continua.
Si varía en, por ejemplo 5 grados, y es en ese intervalo en el que se pasa de positivo a negativo en la diferencia de temperaturas, no hay ningún punto opuesto en el que las temperaturas sean iguales.
Un saludo
Andrés
¿Qué tal si vamos recorriendo una línea CONTINUA que toque la superficie en todo momento, sea esta sólida o líquida, horizontal o vertical? Es un ejemplo, porque sobre cualquier línea continua la variación de temperaturas es continua, es imposible que sea de otra forma. Entonces, necesariamente, la explicación es válida.
ResponderEliminarGracias por tus aportaciones, Andrés.
Se trata de una estupenda demostración del poder del teorema del valor intermedio, y de cuánta información proporciona el hecho de que una función sea contínua.
ResponderEliminarPor cierto, creo que te quedas corto en el alcance de las conclusiones: en general habrá muchos más pares de puntos diametralmente opuestos con las mismas temperaturas.
El motivo está en que la demostración del artículo apenas impone condiciones sobre cuál es el camino recorrido para transponer A con B y B con A, y hay multitud de caminos posibles (muchos de los cuales solamente comparten los puntos inicial y final).
Aún es más, tengo la sospecha, aunque por el momento no puedo dar ningún argumento contundente, de que dichos puntos se agruparán en curvas. La forma de dichas curvas dependerá de la distribución de temperaturas en cada caso.
Un artículo muy inspirador. Enhorabuena y gracias.